【基礎編】分野別検算：円
前回の「図形と方程式」の直線編に続き、円の記事です！
1つ次元をあげた円の方程式や、その性質を学習していきましょう！
円の方程式
まずは、円の方程式を導出してみましょう。
前記事、「図形と方程式」直線編の項目で「線分の長さ」の式を紹介していますが、これを利用します。
円の周上の点は中心から等距離にある
中心を\((a,b)\)、半径を\(r\)とすると、$$ \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2 } = r $$ の両辺を2乗することで下の式①を得ます。（両辺は正なので2乗しても同値です）
① 中心と半径から
点を\((a,b)\)を中心とし、半径が\(r\)の円の方程式は $$ \color{red}{(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2} $$ 中心と半径がわかるこの形が基本形です。
② 一般形 \( x^2+y^2+lx+my+n=0 \)
この形は①を展開した形をしており、この式を平方完成することで①の形となり、円の中心と半径がわかります。
例題
方程式 \(x^2 + y^2 -6x – 8y = 0 \)はどんな図形を表すか。
この形では状況がよくわからないので\(\color{red}{x,y}\)について平方完成します。
【解答】問題の式は、次のように変形できる。$$ \color{red}{x^2} \color{blue}{+y^2} \color{red}{-6x} \color{blue}{-8y} = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \color{red}{(x-3)^2 – 9} + \color{blue}{(y-4)^2 -16} = 0 $$ $$ \Leftrightarrow (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 $$ これは、点(3,4)を中心とする半径5の円を表している
【検算】求めた円周上の1点を例として考え、その1点が上の方程式を満たせばOKです。図を見ると、円は原点を通り、\((x,y)=(0,0)\)は確かに問題の方程式を満たすので大丈夫そうですね！
問題
3点 A(2,6), B(6,-2), C(-1,5)を頂点とする三角形ABCの外接円の方程式を求めよ。
解答
円の方程式は未知数が3つあるので、一般形である\(x^2+y^2+lx+my+n=0 \) が通る3点を代入することで未知数が全て求まります。
求める外接円の方程式を上のようにおくと、この円が3点A,B,Cを通るための条件は、それぞれの値を代入して、$$ \left\{ \begin{array}{1} 2l+6m+n=-40 \\ 6l-2m+n=-40 \\ -l+5m+n=-26 \end{array} \right. $$ これを解くと、\(l=-4, m=-2, n = -20 \)なので、求める方程式は $$ \color{red}{x^2+y^2-4x-2y-20=0 } $$
【検算】導いた方程式にA,B,Cいずれかの点を代入して、成立することを確認してください！
別解
上の解答では一般形を用いた解法でしたが、円の性質を思い出していただくと、
円周上の2点A,Bに対して、弦ABの垂直二等分線は中心を通る
これを利用して円の中心を求めると、あとは半径だけで①の形が完成します。
せっかくなので、今回は垂直二等分線の導出も覚えて帰ってください！
円の中心は弦の垂直二等分線上にあるので、線分AB、線分BCの垂直二等分線の交点が中心である。
・線分ABの垂直二等分線の式 $$ (x-2)^2+(y-6)^2=(x-6)^2+(y+2)^2 $$ $$ \Leftrightarrow \color{red}{x^2}-4x \color{red}{+y^2} -12x+40 = \color{red}{x^2} -12x \color{red}{+y^2}+4y+40 $$ $$ \Leftrightarrow 8x = 16y $$ $$ \Leftrightarrow y= \frac{1}{2} x $$
・線分BCの垂直二等分線の式 $$ (x-6)^2+(y+2)^2 = (x+1)^2 +(y-5)^2 $$ $$ \Leftrightarrow -12x+4y+40=2x-10y+26 $$ $$ \Leftrightarrow x – y=1 $$
したがって、この2直線の交点\(\color{red}{(2,1)}\)が外接円の中心なので、例えば\(A(2,6)\)との距離：\( \color{blue}{5} \)が円の半径である。
以上より、求める外接円の方程式は $$ (x- \color{red}{2})^2 + (y- \color{red}{1})^2 = \color{blue}{5^2} $$
（これは展開すると、解答と同じ式になりますね）
垂直二等分線の求め方（テクニック？）
円の記事から少し脱線しますが、円とは切っても切れない関係にある垂直二等分線の求め方を書きます。
① 1つ目は普通に線分の中点と傾きから求めるものです
② 別解で利用した2つ目はあまり見かけたことのない方もいらっしゃるかもしれませんが、
垂直二等分線上の点は、線分の2点からの距離（の2乗）が等しい
ことを利用して、2点(a,b),(c,d)を端点とする垂直二等分線は $$ \color{red}{(x-a)^2 +(y-b)^2 = (x-c)^2 +(y-d)^2} $$ 上の式で1発で求めることができます！！ さらに、一見計算が面倒に見えますが\(x^2, y^2\)の項が両辺から消えるので本当は簡単に終わります。
まとめ
今回扱った内容は、以下に記す通りなので、初めて学習したことがあればしっかり復習してください！
・円の方程式は円の定義から求まる
・円の方程式の表し方2つと、その異なる用途
・（おまけ）垂直二等分線の求め方
