【応用編】分野別検算：対数
今回のテーマは「対数」です！
対数の基礎的な性質から、対数方程式へステップアップしましょう！
問題
\( a,b \)は定数とする。次の方程式が異なる4つの実数解をもつような点\( (a,b) \)全体の集合を、座標平面上に図示せよ。$$ ( \log_{2}{(x^2 + 1)} )^2 + a \log_{2}{ x^2 + 1} + b = 0 $$
方針
指数の記事でも書いていますが、指数の場合と同じく、知っている2次方程式の形に持っていくことから始めましょう！
すると、次の置き方から、新しくおいた文字の条件も出てきます。 $$ \color{red}{t = \log_{2}{(x^2 + 1)}} $$
解答
$$ t = \log_{2}{(x^2 + 1)} $$ とおくと、方程式は次のように表される。 $$ f(t) = t^2 + at + b = 0 $$ \( x \) が全ての実数を動くとき、\( t \)は \( t ≧ \log_{2}{(0^2 + 1)} = \log{2}{1} = 0 \)の範囲を動く。
さらに、
・\( t= 0\) のとき、1つの\( t\)に対応する異なる実数\( x\)の個数は1個である（\( x= 0\)）
・\( t > 0\) のとき、1つの\( t\)に対応する異なる実数\( x\)の個数は2個である（\( x = ± \sqrt{2^t – 1} \)）
したがって条件は、「方程式：\( f(t) = 0\)が\( \color{red}{t > 0} \)の範囲に2つの異なる実数解をもつ」ことである
・軸：\( t = – \frac{a}{2} \)
・端点：\( f(0) = b \)
・判別式：\( D = a^2 – 4b \)
これらのことから、条件は
軸が正の範囲、端点が正、判別式が正
$$ \Leftrightarrow a<0、b>0、a^2 – 4b > 0 $$ $$ \Leftrightarrow a<0、0 < b < \frac{a^2}{4} $$
以上より、求める集合は以下に示す斜線部分である（境界除く）。
検算：代入
境界内・外にあるいくつかの点で実験してみましょう。
・原点、つまり\( (a,b) = (0,0) \) のとき、（境界のギリギリ外）
方程式の解は\( t= 0, x = 0\)（重解）で1個なので、確かに適していない。
・\( (a,b) = (-5, 6) \) のとき、（境界内）
方程式の解は\( t = 2,3 \) なので、\( x^2 = 3, 7 \)となり確かに異なる4つの実数解\( x\)が存在する。