【基礎編】分野別検算：積分（数Ⅱ）
今回のテーマは「積分（数Ⅱ）」です！
微分・積分は大学入試頻出のテーマで、数Ⅲでも重要な範囲ですので、ここで基本を押さえてしまいましょう！
問題
次の式を満たす関数\(f(x)\)を求めよ。$$ f(x) = 2x^2-x+ \int_{0}^{3}f(x)dx $$
方針
積分を習いたての方から見れば奇妙な問題だと思います。
\(f(x)\)の一部が与えられており、\(\int_{0}^{3}f(x)dx\)というよく分からないものが式の中で登場しています。
ここで気づいて頂きたいのは、\(\color{red}{\int_{0}^{3}f(x)dx} \)は定数ということです。
つまり\(f(x)\)の
定数項が未知数であるということです・未知数は1つなので、この未知数を知るためには1つの式が必要です
解答
\(\int_{0}^{3}f(x)dx\)は定数なので、$$ \int_{0}^{3}f(x)dx = a ・・・[1]$$ とおくと、問題の式より、$$ f(x) = 2x^2-x + a$$ したがって、[1]と合わせて、$$ \int_{0}^{3} (2x^2 -x +a) dx = a $$ $$ \Leftrightarrow \left[ \frac{2}{3} x^3 – \frac{1}{2} x^2 + ax \right]^3_0 = a ・・・[検]$$ $$ \Leftrightarrow 3a +\frac{27}{2} = a $$ $$ \Leftrightarrow \color{red}{a =- \frac{27}{4}} $$ 以上より、求める関数は $$ f(x) = 2x^2 -x – \frac{27}{4}$$
検算
微分
積分計算における代表的な検算は、微分してあげることです。（逆も然り）
この問題では、解答で得られた積分結果（解答中の[検]印）の左辺を微分して元の積分される式に戻っているか確かめてください。間違っていた場合は代入計算がムダになってしまいます！
代入
最終的に \(a =- \frac{27}{4}\) を得られた段階でもとの関数に代入して再計算する手もあります。しかし、時間もかかってしまいますので、今回はパスしてもいいかもしれません。
まとめ
いかがでしたでしょうか。
今回おさえて頂きたいポイントとしては、
・定積分は文字として表せる
・未知数を1つ置いて1つ式をたてることで未知数がわかる
ことです！
