【基礎編】分野別検算：対数関数（数Ⅱ）
今回のテーマは、「対数関数（数Ⅱ）」です！
対数関数は、底の条件といい、真数条件といい、見落としやすい箇所が多いので、注意しながら解いていきましょう！
対数の特徴
問題を解く前に、対数関数の特徴をおさえましょう！
- 底の条件：\(\log_{a}{M}\)において、\(a\)を底といい、次の条件を満たす$$ a>0, a≠1$$
- 足し引きが掛け算割り算になる $$ \log_{a}{M}+\log_{a}{N}=\log_{a}{MN}, k \log_{a}{M}=\log_{a}{M^k} $$
- 底の変換 $$ \log_{a}{b} = \frac {\log_{c}{b}}{ \log_{c}{a}} $$
- 単調性：対数関数は、\(a>1\)では単調増加関数、\(0<a<1\)では単調減少関数である
これは、次のことからわかります $$ \log_{a}{M}= \frac {\log_{\frac{1}{a}}{M}}{\log_{\frac{1}{a}}{a}} = – \log_{\frac{1}{a}}{M}$$
小問集合
(1) 次の式を簡単にせよ。$$ (\log_{2}{9} + \log_{8}{3} )(\log_{3}{16}+\log_{9}{4} )$$
((1) 立教大 (2) 日本工大 (3) 同志社大)
(2) \(3^x=5^y=\sqrt{15}\)のとき、\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)の値を求めよ。
(3) 次の方程式を解け。 $$ \log_{3}{(x-2)}+\log_{3}{(2x-7)}=2 $$
解答(1)
対数を簡単な形にするポイントは、
なるべく小さい整数に統一する
ことです。そのためには、対数の特徴2や底の変換（赤文字）を利用します。
$$ (与式)= (2\log_{2}{3}+\color{red}{ \frac{\log_{2}{3}}{\log_{2}{8}}})(2\log_{3}{4}+ \color{red}{\frac{\log_{3}{4}}{\log_{3}{9}}})$$ $$ =(2\log_{2}{3} + \frac{1}{3} \log_{2}{3})(2\log_{3}{4} + \frac{1}{2} \log_{3}{4}) $$ $$ =\frac{7}{3} \log_{2}{3} × \frac{5}{2} \log_{3}{4} $$ $$ = \frac{35}{6} \log_{2}{3} × \color{red} {\frac{\log_{2}{4}}{\log_{2}{3}}} $$ $$ = \frac{35}{3} $$
解答(2)
直接\(x,y\)を求めてから代入します。
ここで、対数の定義を思い出してください。
\(a>0, a≠1, M>0\)のとき、$$ a^p=M \Leftrightarrow \color{red}{p=\log_{a}{M}} $$
つまり、\(p\)の意味は、「\(a\)を何乗したら\(M\)になるか？」という風に捉えてもらえたら使いやすい・覚えやすいかもしれません。
\(3^x=5^y=\sqrt{15}\)のとき、\(x=\log_{3}{\sqrt{15}}, y= \log_{5}{\sqrt{15}}\)なので、
底の変換により、$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}= \log_{\sqrt{15}}{3}+ \log_{\sqrt{15}}{3} $$ $$ = \log_{\sqrt{15}}{15} = \color{red}{2}$$
※ 底の変換で得られる性質の１つとして、次の逆数の関係を覚えておいてください。上の解答ではこれを利用して計算が簡潔になるように工夫しています。 $$ \color{red}{\log_{a}{b} = \frac{1}{\log_{b}{a}}} $$
(1),(2)の検算：概算
少し難しくなりますが、値がどれくらいの大きさであるかを推測することで、大まかな数値を得ることができます。
先ほどの「何乗したらMになるのか？」を念頭に、次の概算が行えます。
(1) 式の値はおおよそ（「ちょい」は「より少し大きい」、「〜」は「間」） $$ (3ちょい+\frac{1}{2})×((2〜3)+(\frac{1}{2}ちょい))$$ $$ ≒3.5ちょい×3くらい≒\color{red}{10.5~11} $$ となり、これは答えで出てきた\(35/6\)とおおよそ一致しますね！これが概算のパワーです
(2) 同じ調子で、\(3<\sqrt{15}<4\)から、$$ x = 1ちょい, y= 1弱, \frac{1}{x}+\frac{1}{y} ≒1ちょい+1弱≒\color{red}{2} $$ となり、答えで出てきた2と合致します。
解答(3)
冒頭でも述べましたが、対数で最も見落としやすいの条件は「真数条件」「底の条件」であり、私のオススメとしては
問題をみた瞬間にこれらの条件を羅列する
です。実際に見てみましょう。
まず、真数条件より、$$ x-2>0, 2x-7>0 \Leftrightarrow \color{red}{x>\frac{7}{2}} ・・・[1] $$
このもとで、与えられた式は以下のように同値変形できる $$ \log_{3}{(x-2)(2x-7)}=2 $$ $$ \Leftrightarrow (x-2)(2x-7)=9 かつ[1] ・・・[注意]$$ $$ \Leftrightarrow 2x^2-11x+5 =0 かつ[1] $$ $$ \Leftrightarrow (x-5)(2x-1)=0 かつ[1] $$ $$ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2},5 かつ [1] $$ $$ \Leftrightarrow \color{red}{x=5} $$
検算：代入
方程式の検算は何度もやっていますね！
もとの方程式に\(x=5\)を代入すると、以下のようになりOK $$ \log_{3}{3}+\log_{3}{3} =2 $$
真数条件を忘れていて\(x=\frac{1}{2}\)も解に入れていた方もここで気づいてください！
同値変形
解答で行っている式変形に違和感を覚えた方もいらっしゃるかもしれません。
ここでは、あえて同値変形を行うことで正しい同値変形を身につけていただきたく、記載しております。
\(log\)の条件が消えた分、[1]で補うことで同値性を保っているのです。
同値変形についてはコチラ！
