【応用編】分野別検算：指数

8月 18, 20208月 19, 2020

今回のテーマは「指数」の応用編です！

これまで学習した指数の性質を用いて、2次方程式と組み合わせた問題に取り組んでみましょう。

Contents

問題

$ a$を定数とする。$x$の方程式 $ 4^{x+1} – 2^{x+4} + 5 a + 6 = 0 $ が異なる2つの正の解を持つような$ a $ の値の範囲を求めよ。
(日本女子大)

これがただの2次方程式だったら解の配置問題になりますね。そこで、なんとか知っている形に持ち込めないか考えます。

指数の性質を利用して、以下の関係を使えばできそうですね！ $$ \color{red}{4^x = {(2^x)}^2} $$

ただし、2次方程式にした後の解の範囲に注意しましょう。

与えられた式から、 $$ 4×{(2^x)}^2 – 16× 2^x + 5 a + 6 = 0 $$ ここで、$ \color{red}{2^x = t} $とおくと、方程式の左辺を$ f(t) $ として、$$ f(t) = 4 t^2 – 16t + 5a + 6 = 0 $$

$ \color{red}{x>0} $ のとき、$ \color{red}{t> 1} $ なので、

文字の変換

文字を$ 2^x = t $ と置き換えたことにより、文字の範囲も異なってきます。

すなわち、実数$x $が$ x>0 $ の範囲で動くとき、実数$t$は$ t>1 $の範囲を動くので、

「$x$の2次方程式が異なる2つの 正の解 を持つこと」

「$t$の2次方程式が異なる2つの 1より大きい解 を持つこと」

は同値になります。

条件は、「2次方程式 $ f(t) = 0 $ が$ t>1$の範囲の異なる2解を持つこと」である

判別式を$ D $とすると、

・軸：$ t = 2 \color{red}{> 1} $

・境界の正負：$ f(1) = 5a + 6 $

・判別式：$ D = 256 – 16(5a+6) $

であるので、求める条件は $$ f(1) > 0、D > 0 $$ $$ \Leftrightarrow 5a+6 > 0、16 – (5a + 6) >0 $$ $$ \Leftrightarrow \frac{6}{5} < a < 2 $$

与えられた方程式に、自分が求めた範囲にギリギリ入っている/入っていない数字を仮に代入してみましょう。

・$ t = 1 $のとき、（範囲外）

$ f(t) = 4t^2 – 16 t + 11 = 0 $より、$ t = 2 ± \frac{\sqrt{5}}{2} $ となりますが、$ \sqrt{5} ≒ 2.2 $ なので、小さい方の解はギリギリ1を下回ってしまい、確かに異なる2つの正の解にはなりません。

・$ t = 2 $ のとき、（ギリギリ範囲外）

$ f(t) = 4t^2 – 16t + 16 = 0 $ より、$ t = 2 $ （重解）となるので、$ x = 1 $と1つだけの正の解になります。これは、$ t < 2 $ が判別式の $ D > 0 $ から来ていることを考えると当然ですね！

Posted by kenzan