【基礎編】分野別検算：指数関数（数Ⅱ）
今回のテーマは、「指数関数（数Ⅱ）」です！
この記事では、指数関数の基本問題を解いていくことで、指数の特徴と問題のアプローチをおさえていきましょう！
指数の特徴
問題を解く前に、指数関数の特徴をおさえましょう。
関数\(a^x (\)ただし、\(a>1)\)は、
全実数\(x\)に対して正で、単調増加関数である
※\(a<1\)のときは、次のようになります
全実数\(x\)に対して正だが、単調減少関数である
これは、「大きい/小さい数をたくさんかけるとより大きく/小さくなる」という考え方で納得いきますね^^
小問集合
(1) 次の数の大小を比較せよ。\( 2^{30}, 3^{20}, 10^{10} \)
((2) 愛知大 (3) 流通科学大 )
(2) 次の方程式を解け。 $$ 27^x-4・9^x+3^{x+1}=0 $$
(3) \(a>0\)とする。\(9^a+9^{-a}\)のとき、次の値を求めよ。$$ 3^a+3^{-a}, 3^a-3^{-a} $$
解答(1)
本当はそのまま比較したいところですが、数が大きすぎるので、指数（肩の上の数字）に着目します。
全て10の倍数なので、$$ 2^{30} = (2^3)^{10}=\color{red}{8}^{10},$$ $$ 3^{20}=(3^2)^{10}=\color{red}{9}^{10},$$ $$\color{red}{10}^{10} $$
と指数を統一してあげると、残りは底（\(a^x\)の\(a\)のこと）の勝負！
\(1<8<9<10\)なので、大小は\(\color{red}{2^{30} < 3^{20} < 10^{10}} \)
検算
直接計算・・・するのはイヤだ！ということで、別解として、対数をとります。
すると、結局は10で割れるので本質的には8,9,10の比較になりますね^^ $$ 10\log_{10}{2^3}, 10\log_{10}{3^2}, 10\log_{10}{10}$$
解答(2)
形を見やすくするために、\(\color{red}{3^x = t}\)という変数でおきます。
ここで注意すべきは、変数の範囲が\(\color{red}{t>0}\)という正の範囲です！
すると、方程式は以下のように同値変形できます $$ t^3-4t^2+3t=0 $$ $$ \Leftrightarrow t^2-4t+3=0 $$ $$ \Leftrightarrow (t-1)(t-3)=0 $$ $$ 3^x = t = 1,3 ・・・[検]$$ $$ \Leftrightarrow \color{red}{x= 0,1} $$
この変数の置き方は頻出ですので要確認ですね。
検算
方程式では解を代入してあげるのが王道でしたね！ここでは\(\color{red}{t}\)を代入した方が早そうです。
また、[検]の段階で、解答で除外した\(t=0\)が出てきてしまったときはここで気づいてください！！
\(x=-∞\)という誤った結果になってしまいます。
解答(3)
・・・といった矢先にこの問題です。\(3^a=t\)とおくと対称式が登場するので、 $$ 3^a + 3^{-a} =\color{red}{ t + \frac{1}{t}}$$ $$ 9^a +9^{-a} =14 $$ $$ \Leftrightarrow t^2 + \frac{1}{t^2} = 14$$ $$ \Leftrightarrow \color{red}{(t+\frac{1}{t})^2} -2 = 14$$ 指数関数は正の範囲を動き、\(3^a+3^{-a}>0 [1]\)なので、
$$ \Leftrightarrow (t+\frac{1}{t})^2=16 \Leftrightarrow \color{red}{t+\frac{1}{t} = 4}$$
2つめの\(3^a – 3^{-a}\)についても、2乗すると\(\color{red}{9^a+9^{-a}}\)が出てくることがわかりますね！もちろん、先ほどの[1]を利用してゴリ押しできます[検]
$$ (3^a – 3^{-a})^2 = 9^a – 2 + 9^{-a} = 12 $$ ここで、\(\color{red}{a>0, 3^a>1>3^{-a}}\)なので、$$ 3^a – 3^{-a} = 2\sqrt{3}$$
検算
得られた式[1]から\(t(a)\)が直接計算できますが、$$ 3^a +3^{-a} = 4 $$ $$ 3^a – 3{-a} = 2\sqrt{3} $$ の2式の足し引きで\(t(a)\)を求めることができます。
ここから、逆算して\(t\)や\(a\)の値を求めることができるので、一致を確認してください。
まとめ
いかがでしたか？（次回の対数もそうですが）指数関数は上記の特徴をおさえることが最重要とも言えます。
そういった、単調増加・減少であることや正であることや変数の置き方の上に、方程式の検算方法などこれまでの内容を組み合わせることで正解率はグンと上がると思いますので、頑張ってください！
