【応用編】分野別検算：数列
今回のテーマは「数列」です！
実際に問題を通して、数列問題の扱いと検算方法を確認していきましょう！
数列は、シグマ計算や中身が1ずれてしまうことがしばしばあり、命取りになるので要注意です！
問題
\(n\)を正の整数とする。\(xy\)座標平面上において、次の条件をみたす格子点\((x,y)\)の個数を求めよ。 $$ 1<x<2^{n+1}, 0<y≦ \log_2 x $$
概略図
解答の流れ
小さいnで実験
問題文を読んだだけでは状況がよくつかめない場合もあるので、規則性などを探るために小さい値で実験してみます。このプロセスは非常に重要で、後々の検算にも役立ってきます。
\(n=1\)のとき、格子点は\((2,1),(2,2)\)の2個
\(n=2\)のとき、格子点は\((2,1),…(7,1), (4,2),…(7,2)\)の10個
シグマ計算を選ぶ
方針がある程度見えたら、計算を始めます。
本問ではx軸かy軸に平行な直線を切り口として考えるかで2通りのシグマ計算が考えられます。
実際に立式すると、
① x軸に平行な直線で考えると、次のような群数列が浮かび上がってきます。
| x= | 2,3 | 4〜7 | 8〜15 | ・・・ |
| 整数yの個数 | 1 | 2 | 3 | ・・・ |
これを素直に立式すると、\(\sum_{k=1}^{n} k ×2^{k}\) となります。
② y軸に平行な直線で考えると、yが1変わるごとにxは2倍になるので、\(\sum_{k=1}^{n} (2^{n+1}-1-2^k)\)と立式できます。
これらの2式を比較すると、②の方が計算しやすそうであることが分かります。この段階で②を選択するのがベストですね！
検算①
この段階でもこまめに検算しましょう。先ほど導いた2式のいずれでも、$$ \sum_{k=1}^{n} k×2^k, \sum_{k=1}^{n} (2^{n+1} -2^k)$$ は それぞれ\(n=1, n=2\)のとき2個、10個になることを確認してください！
これだけで計算の精度がグンと増しますし、誤ったままシグマ計算に突入したら待ち受けるのは悲惨な結果です…
シグマ計算の遂行
いずれの式でもシグマ計算は行えます（②の方がラクではありますが）。
その結果、以下の式を得ます。$$ \sum_{k=1}^{n} k×2^{k} = \sum_{k=1}^{n} (2^{n+1}-2^k) = \color{red}{2^{n+1}(n-1)+2} $$
この結果が出たらどうするか分かりますよね？そうです！
検算②
しつこいようですが、ここでも検算します。シグマ計算は非常に間違えやすいですからね！
検算①で間違えていないのに検算②で変になっていたら、途中で間違えている可能性がかなり高いです。
おまけ
先ほど登場した2種類のシグマ計算ですが、①の方もそこまで難しいわけではありません。
「和の中抜け」を使ってしまえば、あっという間にできてしまいます。和の中抜けについては以下の記事で解説していますので、ぜひご覧ください！
