2つの曲線の交点を通る「束」の考え方
今回は、「束」という考え方を知ってもらうために記事を書きました。
2つの曲線の交点を通る「束」という特殊な考え方について学びましょう！
2曲線の交点を通る図形
\(f(x,y)=0, g(x,y)=0 \) の交点を通る図形は、定数\(k\)を用いて、$$ \color{red}{k f(x,y) + g(x,y)= 0} $$ ただし、これは\(f(x,y)=0\)を表せない。
注：\( f(x,y) + k g(x,y)=0 \) でも可（\(g(x,y)=0\)を表せない）
2つの図形のある交点Aを\(A(x_1, y_1)\)とすると、\(f(x_1, y_1) = g(x_1, y_1)=0 \)を満たすので、$$ k f(x_1, y_1) + g(x_1, y_1) = 0 $$ これは、図形：\(k f(x,y) + g(x,y)=0 \) が交点Aを通ることを示す。
普通はここから、\(\color{red}{k}\)を特定することで求めたい図形が出てきます。
問題：円と円の交点を通る図形
2つの円：\(f(x,y) = x^2 + y^2 – 2x – 2y + 1 = 0\)、\( g(x,y)= x^2 + y^2 + 4x – 6y + 4 = 0\)の持つ2つの交点について、
(1) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求めよ。
(2) 2つの円の交点と、点\((2,0)\)の3点を通る円の方程式を求めよ。
2つの円の交点を通る図形は、定数\(k\)を用いて、次のように表される（\(f(x,y)=0\)を除く）。$$ \color{red}{k(x^2 + y^2 – 2x – 2y +1) + (x^2 + y^2 + 4x – 6y + 4)= 0} $$
直線は2乗の項を消す
(1) ここで、\(\color{red}{k = -1}\) とすると、式は $$ 6x – 4y -2 = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \color{red}{3x – 2y -1 = 0} $$ となるが、これは直線を表す。
2点を通る直線は一意に定まるので、これが求める図形である
kを求める
(2) 図形：\( k f(x,y)+ g(x,y)= 0\)が点\((2,0)\)を通るための条件は、代入により、$$ k(4 + 0 – 4 – 0 + 1)+ (4 + 0 + 8 – 0 + 4)= 0 $$ $$ \Leftrightarrow \color{red}{k = – 16} $$ したがって、求める図形は $$ – 16 f(x,y) + g(x,y) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow – 15 x^2 – 15 y^2 + 36 x + 26y – 12 = 0 $$ $$ \color{red}{15 x^2 + 15 y^2 – 36 x – 26 y + 12 = 0} $$
【検算】求めた図形は確かに点\((2,0)\)を確かに通りますね！
おまけ：極線
少し似たような状況として、極線があります。
「極線」：1点から円に引いた2本の接線の2つの接点を通る直線
詳しくは、下の記事で確認してください！
