【応用編】分野別検算：微分（数Ⅱ）

7月 28, 20207月 29, 2020

今回のテーマは「微分（数Ⅱ）」です！

基礎編では扱わなかった、接線のからむ問題の取り組み方を見ていきましょう！

問題

\(f(x)=2x^2-4x+3, g(x)=-x^2-2x-2\)とする。放物線\(y=f(x)\)と放物線\(y=g(x)\)の両方に接する2本の直線の交点の座標を求めよ。

(大阪府大)

接線の式

一応、曲線上の接線を復習しましょう

方針

今回は2つの図形に接する共通接線の問題です。2つの2次関数の共通接線は、片方の接線をおき、もう片方の曲線と接する条件を求めます。

2次関数では重解を持つ条件が接する条件で求めやすいので、それを利用します。詳しくは、下の分類を参照してください。

解答

\(f'(x)=4x-4\)より、放物線\(y=f(x)\)上の点\((t,f(t))\)における接線の方程式は $$ y=(4p-4)(x-p)+2p^2-4x+3 $$ $$ \Leftrightarrow y=4(p-1)x-2p^2+3 $$ この直線が放物線\(y=g(x)\)と接するための条件は、この接線と\(y=g(x)\)でyを消去した $$ 4(p-1)x-2p^2+3=-x^2-2x-2 $$ $$ \Leftrightarrow x^2+2(2p-1)x-2p^2+5=0 $$ が重解を持つことである。

したがって、判別式をDとすると、$$ \frac{D}{4}=0 \Leftrightarrow (2p^2-1)^2 – (-2p^2+5)=0 $$ $$ 3p^2-2p-2=0・・・[1] $$ $$ \Leftrightarrow p= \frac{1±\sqrt{7}}{3}$$ 簡単のため、これらのpの値を\( \alpha, \beta\)とおくと、2つの共通接線は $$ \left\{ \begin{array}{1} y=4(\alpha -1)x-2{\alpha}^2+3 \\ y=4(\beta -1)x-2{\beta}^2+3 \end{array} \right. $$ であるので、\(y\)を消去して整理すると、$$ 4(\alpha – \beta)x=2(\alpha + \beta)(\alpha – \beta) $$ ここで\(\alpha ≠ \beta\)と、[1]の解と係数の関係より、$$ x = \frac{\alpha + \beta}{2} =\frac{1}{3} $$ 交点の\(x\)座標は\(\frac{1}{3}\)なので、$$ y= 4(\alpha -1)・\frac{\alpha + \beta}{2} – 2{\alpha}^2+3 $$ $$ =2\alpha\beta -2(\alpha + \beta) +3 ・・・\color{red}{[検]}$$ $$ =-\frac{4}{3}-\frac{4}{3}+3=\frac{1}{3} $$ 以上より、交点の座標は$$ (\color{red}{ \frac{1}{3}, \frac{1}{3} }) $$

検算①：対称性

解答の[検]マークの箇所をみてください。\(\alpha, \beta\)の対称式になっています。

2本の共通接線の傾きは\(\alpha, \beta\)とおきましたが、区別していないので最終的に得られる交点の座標はこの２つの変数に対して対称になっていて然るべきです。

（ただし、解と係数の関係を使って\(\alpha\)だけの2次式にするとこれは対称でなくなるので注意）

検算②：概算

本問では、2つの放物線の式が与えられているので、おおよその図と共通接線が描けます。

交点の位置

このことから、図を描くと、2つの共通接線の交点はおおよそ\(\color{red}{(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})}\)とわかります。

直線の傾き

[1]で求めたpの値 $$ \frac{1+\sqrt{7}}{3}≒1.2〜1.3 $$ $$ \frac{1-\sqrt{7}}{3}≒-0.5 $$ から、直線の傾きは $$ 4(\alpha -1) ≒1 $$ $$ 4(\beta -1)≒-6 $$ とおおよそ書き込んだ直線の傾きと一致しますね！

まとめ

いかがでしたか？本問は共通接線を2本求め、それらの交点を解と係数の関係を利用して求めるというものでした。登場する曲線が2次関数だったので「共通接線の求め方」の中では比較的かんたんに求まるものでした。