【基礎編】分野別検算：微分（数Ⅱ）
今回のテーマは「微分（数Ⅱ）」です！
基本編では、導関数の定義や極限の扱いをおさらいしていきましょう！
問1：導関数
次の式を\(f'(a)\)を用いて表せ。 $$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2h)-f(a-h)}{h}$$
導関数の定義
問題を解く前に、導関数の定義を復習しましょう。
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} { \frac{f(x \color{red}{+h} ) -f(x)}{h} } $$
ポイントは分母の中身の差が分子であることです。
解答
導関数の定義が使える形に持っていきます $$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+2h)-f(x-h)}{h} $$ $$ = \lim_{h \rightarrow 0} \bigl( \frac{f(x+2h) \color{red}{-f(x)}}{\color{red}{2h}} \color{red}{×2} + \frac{\color{red}{f(x)}-f(x-h)}{h} \bigr) $$ $$ = \color{red}{2f'(a) + f'(a)} =3f'(a) $$
検算：代入
適当な関数\(f(x)\)で確認します。
\(\color{red}{f(x)=x}\)とすると、$$ \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{(x+2h)-(x-h)}{h}} $$ $$ =\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{3h}{h}} $$ $$ =\color{red}{3} $$ 一方、\(f'(x)=1 \)なので、任意の実数\(a\)に対して\(3f'(a)=3\)（一致）
問2：極限
次の等式が成り立つように、定数\(a,b\)の値を求めよ。$$ \lim_{x \rightarrow 3}{\frac{x^2+2x-15}{x^2+ax+b}} = 3 $$
(久留米大)
方針
分母が0になるような極限では、分子も0にならないと極限値が存在しないことを利用します。
$$ \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = \alpha , \lim_{x \rightarrow c}{g(x)}=0 $$ このとき、分母→0なので、分子→0ですが、それは以下のように説明できます。$$ \lim_{x \rightarrow c}{f(x)}= \lim_{x \rightarrow c}{\frac{f(x)}{g(x)}・\color{red}{g(x)}} = \alpha ・0=0 $$
このように、分母をかけてあげることで、分子→0を簡単に説明できます。
本問では状況（分母分子）が逆ですが、説明は同じです。
解答
$$ \lim_{x \rightarrow 3}{\frac{x^2+2x-15}{x^2+ax+b}・(x^2+ax+b)}=\lim_{x \rightarrow 3}{(x^2+2x-15)}=0 $$ $$ = 3× \lim_{x \rightarrow 3}{(x^2+ax+b)} $$ 以上より、$$ \lim_{x \rightarrow 3}{(x^2+ax+b)}=3 $$ $$ \Leftrightarrow 3a+b+9=0 $$ このとき、\(b = -3a-9\)なので、等式は以下のように同値変形できる $$ \lim_{x \rightarrow 3}{\frac{(x+5) \color{red}{(x-3)}}{(x+a+3) \color{red}{(x-3)}}} = 3 $$ $$ \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 3}{\frac{x+5}{x+a+3}} =3 $$ $$ \Leftrightarrow a = -\frac{10}{3} $$ ゆえに、[1]と合わせて、\((a,b)=(-\frac{10}{3},1) \)
検算：代入
得られた\(a,b\)の値をもとの極限に代入して3になることを確かめます。（計算はほとんど同じになりますが…）
