微分：3次関数の8等分
今回は数学のテクニックとして、「（極値をもつ）3次関数の8等分」を紹介しようと思います。
3次関数は微分積分の問題で頻繁に登場し、最大最小問題と絡めた出題も少なくありません。
そこで、この記事は少しでも「3次関数をラクに扱う方法」を吸収してくれたらという思いで書きました。
どうやって8等分するの？
説明するよりも見ていただいた方がはやいでしょう！
極値をもつ3次関数の場合は、下図のようにキレイに8等分できます
8等分の証明
証明を始めるにあたり、3次関数を設定します。極値をもつ3次関数\(f(x)\)は、最高次の係数を\(a (\)ここでは作図のために\(a>0)\)とし、極値を与える\(x\)を\(x = \alpha, \beta (\alpha < \beta)\)とすると、$$ f'(x) = a(x- \alpha)(x- \beta)$$
概略図
y座標
「3次関数は、変曲点に関して対称である」
導関数\(f'(x)\)を微分した\(f^{\prime\prime}(x)\)が、\(f^{\prime\prime}(x)=0\)となる点を変曲点といい、3次関数はこの変曲点に関して対称です。
したがって、変曲点をM、\(x\)座標を\(x_m\)とすると、$$ f^{\prime\prime}(x_m)=0 \Leftrightarrow x_m = \frac{\alpha+\beta}{2} $$
さらに、2つの極点A,Bもこの点に対して対称であるので、\(f(\alpha), f(\frac{\alpha+\beta}{2}), f(\beta)\)はこの順に等差数列である。
【注意】数式による説明は「おまけ」を参照してください
x座標
まずは普通に\(f(x)\)を求めます。\(c\)を定数として、
$$ f(x) = \int a(x- \alpha) (x- \beta) dx \\ $$ $$ = \int \{ a x^2-a( \alpha+ \beta)x +a \alpha \beta \} dx \\ $$ $$ = \frac{a}{3} x^3 – \frac{a( \alpha+ \beta)}{2} x^2+ a \alpha \beta x + c $$
そこで、長方形の上辺：\(y = f( \alpha)\)（定数）と\(y= f(x)\)の共有点を求めるために\(\color{red}{y}\)を消去すると、$$ \frac{a}{3} x^3 – \frac{a( \alpha+ \beta)}{2} x^2 + a \alpha \beta x + c -f( \alpha) = 0 ・・・[1] $$
2図形の共有点は点A（重解）と点Cなので、[1]での解と係数の関係より $$ \alpha + \alpha + x_c = \frac{a(\alpha+\beta)}{2}/\frac{a}{3} = \frac{3(\alpha+\beta)}{2} $$ $$ \Leftrightarrow x_c = \frac{3 \beta-\alpha}{2} $$
同様にして、点Dの\(x\)座標も\(x_d = \frac{\alpha- 3 \beta}{2}\)なので、$$ x_d, \alpha, x_m, \beta, x_c ・・・\frac{\alpha-3 \beta}{2}, \alpha, \frac{\alpha+\beta}{2},\beta,\frac{3 \beta -\alpha}{2} $$ はこの順に等差数列である。
おまけ
おまけ：y座標【数式編】
定数\(c\)を用いて積分を工夫すると $$ f(x)= \int f'(x)dx \\ $$ $$ =\int a(x- \alpha)(x- \beta)dx \\ $$ $$ = \int a (x- \alpha) \{ \color{red}{ (x- \alpha)- (\beta – \alpha)} \} dx \\ $$ $$ =\int a(x- \alpha)^2 – a(\beta – \alpha)(x – \alpha) dx \\ $$ $$ = \frac{a}{3} (x-\alpha)^3 – \frac{a(\beta – \alpha)}{2} (x- \alpha)^2 +c $$ と表されます。
この形の積分は「6分の1公式」の導出でも登場します！
なぜこの表し方をあえてするかというと、次の代入計算がラクになるからです。
したがって、 $$ \left\{ \begin{array}{1} f(\alpha)=c \\ f(\frac{\alpha+\beta}{2} )=c-\frac{(\beta-\alpha)^3}{12} \\ f(\beta)=c-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6} \end{array} \right. $$ より、変曲点の\(y\)座標は2つの極値の真ん中にありますね。
おまけ：変曲点に関する対称性
「3次関数は、変曲点に関して対称である」ことは、平行移動により簡潔に説明できます。
いま、変曲点Mは\(M(\frac{\alpha+\beta}{2} , f(\frac{\alpha+\beta}{2}))\)なので、これが原点に移るように平行移動してあげれば、\(\color{red}{x^2}\)と定数項が消え、\(x^3,x\)の項のみが残ります。これは原点対称を意味するので、
平行移動した図形が原点対称 \(\Leftrightarrow\) 平行移動前の図形は点Mに関して対称
