【基礎編】分野別検算：平面上の直線
今回のテーマは「図形と方程式」の直線編です！
座標平面では、今後色々な図形や、それに対応する方程式に触れていくことと思いますが、その中で特に高い頻度で登場するのが直線と円です。
今回は、直線の基本的な性質や表現を学んで、今後の座標平面ライフにつなげてください！
問題
座標平面上の3点、A(2,2), B(3,6), C(6,4)について、 次の問いに答えよ。
(1) 直線ABの方程式を求めよ。
(2) 線分ABの長さを求めよ。
(3) 点 Cと直線ABの距離を求めよ。
(4) 三角形ABCの面積を求めよ。
(1)直線の置き方
（\(x\)軸平行でない）平面上の直線は、次のような置き方ができます
① 傾き\(a\)とy切片\(b\)の2変数を用いた表現 $$ y = ax+b $$ よく見かけるやつです（適当な説明）。
② 傾き\(m\)と通る点\((a,b)\)を用いた表現 $$ \color{red}{y = m(x-a)+b} $$ 通る点がわかっているときに1変数ですむ便利な式です。微分・接線などで活躍します。
③ 3変数\(a,b,c\)を用いた表現 $$ ax+by+c = 0 $$ この表現は、\(b=0\)とすることで\(x\)軸平行の直線も表せます。点と直線の距離の公式で登場します。また、数Bの内容ですが、法線ベクトルが\((a,b)\)である点がわかりやすいですね。
解答
点Aを通る点は、傾きを\(m\)として次のように表せる。 $$ \color{red}{y = m(x-2)+2} $$ この直線が点\(B(3,6)\)を通るための条件は、 $$ 6 = m(3-2)+2 $$ $$ \Leftrightarrow m=4 $$ したがって、求める直線は $$ AB：y = 4x-6 $$ 【検算】求めた直線がA,Bの2点を通っていれば正しいですね。ここの確認は簡単な上、最初の段階で間違えると壊滅してしまうので最初の方ほど慎重に！
別解
上の解答は通る点を利用した直線の置き方②でしたが、①でも問題ありません。
求める直線を\( y = ax+b \)とおくと、この直線が2点A,Bを通るための条件は $$ \left\{ \begin{array}{1} 2=2a+b \\ 6= 3a+b \end{array} \right. $$ $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{1} a=4 \\ b=-6 \end{array} \right. $$ したがって、求める直線は \(y=4x-6 \)
線分の長さ
2点\(A(a_1, a_2), B(b_1, b_2) \)に対し、線分ABの長さは次のように表される。 $$ \color{red}{AB = \sqrt{(a_1 – a_2)^2 + (b_1 – b_2)^2} } $$
これは、底辺が\((a_1 – a_2) \)、高さが\( (b_1 – b_2) \) の三角形の斜辺の長さを三平方の定理を使って求めることができます。
解答
求める線分ABの長さは、$$ AB = \sqrt{ (2-3)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{25} = \color{red}{5} $$
点と直線の距離
点\((x_1, y_1)\)と直線：\(ax+by+c=0\)の距離\(d\)は $$ \color{red}{d = \frac{\left| a x_1 + b y_1 +c \right|}{\sqrt{a^2 + b^2}} } $$
分母の\(\sqrt{a^2 + b^2}\)と分子の絶対値を忘れないでください！距離なので0以上の値をとります
解答
点Cと直線ABの距離\(d\)は、(2)で求めた直線ABの方程式：\(4x-y-6=0\)を用いて、$$ d= \frac{ \left| 4×6 – 4 – 6 \right| }{\sqrt{4^2+1^2}} $$ $$ = \color{red}{\frac{14}{5}} $$ 【検算】最終的な検算は(4)で行うのでここは飛ばしてもいいですが、概略図を書けばおおよそ3であることが分かれば十分でしょう
三角形の面積
以上より、三角形ABCの面積は、$$ AB × d × \frac{1}{2} = 5 × \frac{14}{5} × \frac{1}{2} = \color{red}{7} $$
【検算】下の項目参照
三角形の面積の式
この問題と同じ方法を利用して、3頂点を与えられた三角形の面積は次のように表せます。
（直線の方程式、線分の長さを求める→点と直線の距離→かけ算）
3点 O(0,0), A(\(x_1, y_1\)), B(\(x_2, y_2 \)) を頂点とする三角形の面積Sは $$ \color{red}{ S = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 – x_2 y_1 \right| } $$
\(x,y\)の組み合わせが異なることに注意してください
つまり、先ほどの問題でこの公式を利用しようと思うと、いずれかの頂点が原点にくるように平行移動してあげればいいことになります。
仮に点Aが点Oに重なるように平行移動すると、
\(x\)方向に \(-2\)、\(y\)方向に\(-2\)平行移動
\(点B(3,6)・・・点\color{red}{B'(1,4)} \)
\( 点C(6,4)・・・点\color{red}{C'(4,2)} \)
上にある三角形の面積が使えるようになったので、本問での三角形の面積は $$ \frac{1}{2} \left| 1×2 – 4×4 \right| = \color{red}{7} $$
