【応用編】分野別検算：方程式
今回のテーマは「方程式」です！
実際に大学入試問題をとりあげて、数と式・方程式の方針をおさえ、さらに検算の方法を確認していきましょう！
問題
問. 次の連立方程式について、以下の問いに答えよ。\(a\)は整数の定数とする。
(13 国士舘大/改題)
$$ \left\{ \begin{array}{1} x-(a+6)y=1 \\ ax-8(a+1)y=1 \end{array} \right. $$ (1) この方程式の解が存在しないような\(a\)を求めよ。
(2) この方程式が無数の解を持つような\(a\)を求めよ。
方針
二元連立一次方程式の扱い方は、
・同値変形 (同値変形の記事はこちら)
・グラフで考える (今回はこれを使います)
が考えられます。
文字2種類の一次方程式は座標上の直線
重要な考え方の一つとして、「二元一次方程式は座標平面上の直線を表している」があります。この考え方ですと、
・方程式は直線
・方程式の解は直線の共有点
という、図形的に解釈しやすい解法になります。
解答と検算
解答
(1) この連立方程式が解を持たないための条件は、2つの方程式の表す直線が共有点を持たない、つまり平行で、かつ重ならないことである(重なるのは(1)の場合です)。(1)より\(a≠-2\)の下で、条件は$$ 1:-(a+6) = a:-8(a+1) $$ $$ \Leftrightarrow a(a+6)-8(a+1)=0$$ $$ \Leftrightarrow (a+2)(a-4)=0$$ $$ \Leftrightarrow a=-2,4 $$
\(\color{red}{a≠-2}\)なので、求める値は\(a=4\)
【検算】\(a=4\)をもとの連立方程式に代入して合致するか確かめます！→代入（逆算）
(2) この連立方程式が無数の解を持つための条件は、2つの方程式が全く同じになることである。つまり条件は、方程式の係数と定数項に注目して、\( 1:-(a+6):1 = a:-8(a+1):-2 \)である。これを解くと、\(a=-2\) （計算式は(1)とほぼ同じになっています）
【検算】ここで、\(a=-2\)をもとの連立方程式に代入して合致するか確かめます！→代入（逆算）
検算
方程式などで使われる代表的な検算方法である代入・逆算については、下の記事でまとめてあります！
